Cho đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ, biết f"3=23. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx=3f3−2x−mx2+6m−12x có đúng bốn điểm cực trị?

Chọn D.

Xét hàm số gx=3f3−2x−mx2+6m−12x.

Ta có: g'x=−6f'3−2x−2mx+6m−12=−6f'3−2x+m3x−m+2.

    g'x=0⇔f'3−2x+m3x−m+2=0 *

Đặt t=3−2x⇒x=3−t2, suy ra (*) có dạng:

     f't+m3−t6−m+2=0⇔f't=m6t+m2−2.

Số nghiệm bội lẻ của phương trình g'(x) = 0 bằng với số nghiệm bội lẻ của phương trình f't=m6t+m2−2, tương đương với số giao điểm không tiếp xúc của hai đồ thị y = f'(t) và đường thẳng y=m6t+m2−2=m2t3+1−2. d

Đường thẳng d luôn đi qua A(-3; -2)

Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (3; 2) như hình vẽ.

Suy ra: d1:y=23t khi đó giá trị tham số m=m1 thỏa mãn m16=23⇔m1=4.

Gọi d2 là đường thẳng đi qua A và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f'(t) tại điểm (1; -2) như hình vẽ.

Suy ra: d2:y=−2 khi đó giá trị tham số m=m2 thỏa mãn −2=m2.16+m22−2⇔m2=0.

Để hàm số g(x) có bốn điểm cực trị thì phương trình f't=m6t+m2−2 có bốn nghiệm bội lẻ, tương đương với đồ thị y = f'(t) và đường thẳng d có bốn giao điểm xuyên qua.

Do đó m2=0