Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y=sin2x+2cos2x+32sin2x−cos2x+4

Bước 1:

Ta có:

y=sin2x+2cos2x+32sin2x−cos2x+4

⇔2y.sin2x−y.cos2x+4y=sin2x+2cos2x+3

⇔2y−1.sin2x−y+2.cos2x=3−4y

⇒2y−1.sin2x−y+2.cos2x2=3−4y2(*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

2y−1.sin2x−y+2.cos2x2≤2y−12+y+22sin22x+cos22x

2y−1.sin2x−y+2.cos2x2≤2y−12+y+22

Bước 3:

Kết hợp với (*) ta được:

3−4y2≤2y−12+y+22

⇔9−24y+16y2≤4y2−4y+11+y2+4y+4

⇔16y2−24y+9≤5y2+5

⇔11y2−24y+4≤0

⇔211≤y≤2

⇒miny=211;maxy=2

Đáp án cần chọn là: D