Xét tất cả số thực x, y sao cho 275−y2≥a6x−log3a3 với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² + y² − 4x + 8y bằng

Đáp án đúng là: A

Giả sử x, y thỏa với mọi số dương a

Ta có P = x² + y² − 4x + 8y  x² + y² − 4x + 8y − P = 0

Suy ra điểm M(x; y) thuộc đường tròn tâm I(2; −4) và bán kính 22+(−4)2+P  =20+P

(5 − y²).3 ≥ (6x − 3t)t

⇔−3t² + 6xt − 15 + 3y² ≤ 0 (với t = log₃a)

Theo đề bài ta có đúng với mọi số thực dương a nên −3t² + 6xt − 15 + 3y² ≤ 0 đúng với mọi t Î ℝ

Do đó −3<0(3x)2+3(−15+3y2)≤0

9x² +9y² − 45 ≤ 0 x² + y² ≤ 5

Suy ra tập hợp các điểm M(x; y) là hình tròn tâm O(0; 0) và bán kinh R₂ =5

Vậy để tồn tại cặp (x; y) thì đường tròn (I; R₁) và hình tròn (O; ) phải có điểm chung

Do đó IO ≤ R₁ +5 ⇔22+(−4)2 ≤20+P+5

⇔5≤20+P⇔ P ≥ −15

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −15.