Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt α là góc giữa AB và đáy. Tính tanα khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án A

Lấy điểm A'∈O',B'∈O  sao cho AA’, BB’ song song với trục OO’.

Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB’.O’A’B.

Ta có: VOO'AB=VOAB'.O'A'B−VA.O'A'B−VB.OAB'         =VOAB'.O'A'B−13VOAB'.O'A'B−13VOAB'.O'A'B=13VOAB'.O'A'B

⇒VOO'AB=13.AA'.SΔOAB'=16.AA'.OA.OB.sinAOB'^=16.2a.2a.2a.sinAOB'^             =16.8a3.sinAOB'^=4a33sinAOB'^Do đó để VOO'AB  lớn nhất ⇔sinAOB'^=1⇔AOB'^=90°⇔OA⊥OB' .

⇒O'A'⊥O'B⇒ΔO'A'B vuông tại O'⇒A'B=2O'A'=2a2 .

Ta có: AA'⊥O'A'B⇒AB,O'A'B^=ABA'^=α⇒tanα=AA'A'B=2a2a2=12.