Nghiệm của phương trình \[A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\] là:

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 10; x ∈ ℕ (*)

Ta có \[A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\].

\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)!}} = 9.\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} + \frac{{x!}}{{\left( {x - 9} \right)\left( {x - 10} \right)!}} = 9.\frac{{x!}}{{\left( {x - 8} \right)\left( {x - 9} \right)\left( {x - 10} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}}\left( {1 + \frac{1} - \frac{9}{{\left( {x - 8} \right)\left( {x - 9} \right)}}} \right) = 0\) \(\left( {\frac{{x!}}{{\left( {x - 10} \right)!}} \ne 0,\,\forall x \ge 10;\,x \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{1} - \frac{9}{{\left( {x - 8} \right)\left( {x - 9} \right)}} = 0\)

⇔ (x – 8)(x – 9) + x – 8 – 9 = 0

⇔ x² – 17x + 72 + x – 17 = 0

⇔ x² – 16x + 55 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x = 5\end{array} \right.\)

So với điều kiện (*), ta nhận x = 11.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 11.

Do đó ta chọn phương án C.