Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Mặt phẳng (A’BC’) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Trong (A’B’C’): kẻ B’H ⊥ A’C’.

Mà A’C’ ⊥ BB’ (do BB’ ⊥ (A’B’C’)).

Suy ra A’C’ ⊥ (BB’H) Þ A’C’ ⊥ BH

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'C'\\\left( {BB'H} \right) \cap \left( {A'BC'} \right) = BH\\\left( {BB'H} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'H\\A'C' \bot BH,A'C' \bot B'H\end{array} \right.\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BC’) và (A’B’C’) là góc giữa hai đường thẳng BH và B’H, tức là \(\widehat {BHB'} = 60^\circ \).

Ta có AB = AC = a (giả thiết). Suy ra ∆ABC cân tại A.

Khi đó \(\widehat {A'C'B'} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Ta có \(B'C' = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120^\circ } \)

\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos 120^\circ } = a\sqrt 3 \).

Suy ra \(B'H = B'C'.\sin \widehat {A'C'B'} = a\sqrt 3 .\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(BB' = B'H.\tan \widehat {BHB'} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\tan 60^\circ = \frac{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{2}.\frac{1}{2}AB.AC.\sin 120^\circ = \frac{4}.a.a.\sin 120^\circ = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).

Do đó ta chọn phương án A.