Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình 4^x – m . 2^x – m + 15 ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.

Đáp án đúng là: D

4^x – m . 2^x – m + 15 ≥ 0 (1)

Đặt \({2^x} = t(t > 0)\) ta được \({t^2} - mt - m + 15 \ge 0\)      (2)

Để bất phương trình (1) có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2] thì (2) đúng với mọi t ∈ [2; 4]

Ta có: \((2) \Leftrightarrow {t^2} + 15 \ge m(t + 1) \Leftrightarrow \frac{{{t^2} + 15}} \ge m\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} + 15}},t \in [2;4]\)

Ta có \(f'(t) = \frac{{(t + 5)(t - 3)}}{{{{(t + 1)}^2}}}\); \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3\)

Bảng biến thiên:

Suy ra m ≤ 6

Vậy ta chọn đáp án D.