Cho hàm số y=f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [−4;4] biết ∫−20f(−x)dx=2 và ∫12f(−2x)dx=4. Tinh I=∫04f(x)dx

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến và áp dụng công thức ∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx.

Giải chi tiết:

Xét tích phân: ∫−20f(−x)dx

Đặt x=−t⇔dx=−dt. Đổi cận x=−2⇒t=2x=0⇒t=0

⇒∫−20f(−x)dx=−∫20f(t)dt=∫02f(t)dt=∫02f(x)dx=2

Xét tích phân: ∫12f(−2x)dx=4

Đặt 2x=t⇔2dx=dt. Đổi cận x=1⇒t=2x=2⇒t=4

⇒∫12f(−2x)dx=4=12∫24f(−t)dt=4⇒∫24f(−x)dx=8⇒−∫24f(x)dx=8⇔∫24fxdx=−8

∫04f(x)dx=∫02f(x)dx+∫24f(x)dx=2−8=−6

Chọn B.