Cho hình chóp S. ABC có BAC^=900,AB=3a,AC=4a, hình chiếu của đỉnh S là một điểm H nằm trong ΔABC. Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là dSA,BC=6a3417,dSB,CA=12a5,dSC,AB=12a1313. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

Chọn D.

ΔABC vuông tại A⇒BC=AB2+AC2=3a2+4a2=25a2=5a.

Vẽ ΔMNP sao cho AB, BC, CA là các đường trung bình của ΔMNP⇒ACBN;ABCP là các hình bình hành; ABMC là hình chữ nhật và MP=6a;MN=8a;NP=10a

Ta có: BC//SNP⇒dSA,BC=dBC,SNP=dB,SNP

Lại có:

dB,SNPdM,SNP=BNMN=12⇒dM,SNP=2dB,SNP=2dSA,BC=12a3417

Tương tự ta tính được:

dP,SMN=2dSB,CA=24a5 và dN,SMP=2dSC,AB=24a1313

Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của H lên NP,MP,MN và đặt h=SH=dS,MNP

Ta có: SH⊥NP và HD⊥NP⇒NP⊥SHD

Chứng minh tương tự: HE⊥SMP;HF⊥SMN

Do đó: 3VSMNP=dM,SNP.SSNP=dN,SMP.SSMP

             =dP,SMN.SSMN=dS,MNP.SMNP=h.SMNP

Mặt khác: SSNP=12SD.NP=5a.SD;SSMP=12SE.MP=3a.SE;

                 SSMN=12SF.MN=4a.SF;SMNP=12MN.MP=24a2

⇒12a3417.5a.SD=24a1313.3a.SE=24a5.4a.SF=24a2h

⇒SD=h345;SE=h133;SF=5h4

Ta lại có: HD=SD2−SH2=34h225−h2=9h225=3h5

                HE=SE2−SH2=13h29−h2=4h29=2h3

               HF=SF2−SH2=25h216−h2=9h216=3h4

Mà SMNP=SHNP+SHMP+SHMN=12HD.NP+12HE.MP+12HF.MN

⇒12.3h5.10a+12.2h3.6a+12.3h4.8a=24a2⇒8ah=24a2⇒h=3a

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là VS.ABC=13h.SABC=13.3a.12.3a.4a=6a3.