Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 5y - z = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{1} = \frac{1} = \frac{{ - 1}}.\] Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trên mặt phẳng (P) sao cho Δ cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Đáp án A

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Giả sử \(\Delta \) cắt và vuông góc với d tại \(M \Rightarrow M\left( {t + 1;t - 1;3 - t} \right)\).

Bài ra \(\Delta \) nằm trên \(\left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {t + 1} \right) - 5\left( {t - 1} \right) - \left( {3 - t} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {3;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5; - 1} \right)\).

Đường thẳng d có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) nằm trên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \bot {\rm{d}} \Rightarrow \Delta \) nhận \(\left[ {\overrightarrow n ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6;1;7} \right)\) là một VTCP.

Kết hợp với \(\Delta \) qua \(M\left( {3;1;1} \right) \Rightarrow \Delta :\frac{6} = \frac{1} = \frac{7}\).