Có bao nhiêu số phức \[z\] thỏa mãn \[\left( {1 + i} \right)z + \bar z\] là số thuần ảo và \[\left| {z - 2i} \right| = 1\]?

Đáp án A

Giả sử \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\left| {z - 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 1.\)

Lại có \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a - bi = 2{\rm{a}} - b + ai\) là số thuần ảo.

Nên \(2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a \Rightarrow {a^2} + {\left( {2a - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

+ Với \(a = 1 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow z = 1 + 2i\).

+ Với \(a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5} \Rightarrow z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i\).