Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 000 đồng. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1 200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm lần lượt là bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Đáp án đúng là: C

Gọi x (x ≥ 0) là số kg loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x + 4y, thời gian là 30x + 15y có mức lời là 40.000x + 30.000y

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1 200 giờ làm việc suy ra

2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y – 100 ≤ 0

30x + 15y ≤ 1 200 hay 2x + y – 80 ≤ 0

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 \le 0\\2{\rm{x}} + y - 80 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)       (*)

sao cho L(x; y) = 40.000x + 30.000y đạt giá trị lớn nhất

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d): x + 2y – 100 = 0 và (d’): 2x + y – 80 = 0

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng (tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của L(x; y) đạt tại một trong các điểm (0; 0); (40; 0); (0; 50); (20; 40)

Ta có L(0; 0) = 0; L(40; 0) = 1 600 000

L(0; 50) = 1 500 000; L(20; 40) = 2 000 000

Suy ra giá trị lớn nhất của L(x; y) là 2 000 000 khi (x;y) = (20; 40)

Do đó cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất

Vậy ta chọn đáp án C.