Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left( {m{x^2} + 1} \right)\] có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \[{\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\] đưa phương trình về dạng \[{\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) > 0}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}} \right.\]

Từ đó lập luận theo điều kiện của x để tìm m

Giải chi tiết:

Điều kiện : \[x > 1\]

Ta có : \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left( {m{x^2} + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m{x^2} + 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m{x^2} - 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){x^2} - 2x = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} + 2x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left[ {\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\left( {ktm} \right)}\\{\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0}\end{array}} \right.\]

Với \[m = 1\] ta có \[\left( {1 - 1} \right)x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0\] (vô lý)

Với \[m \ne 1\] ta có \[\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 2}}\]

Kết hợp điều kiện \[m > 1 \Rightarrow \frac{{ - 2}} > 1 \Leftrightarrow \frac{2} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\]

Vậy \[m \in \left( { - 1;1} \right)\]