Cho số phức z=(2+6i3−i)m,m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m∈[1;50] để z là số thuần ảo?

Đáp án A

Ta có  z=(2+6i3−i)m=((2+6i)(3+i)(3−i)(3+i))m=(2i)m=2m.im

+ Với m=4k(k∈ℤ)  thì  z=2m

+ Với m=4k+2(k∈ℤ)  thì  z=−2m

+ Với m=4k+1(k∈ℤ)  thì  z=2m.i

+ Với m=4k+3(k∈ℤ)  thì  z=−2m.i

Vậy để z là số thuần ảo thì [m=4k+1m=4k+3(k∈ℤ)  mà  1≤m≤50

Nên  [1≤4k+1≤501≤4k+3≤50⇔[0≤4k≤49−2≤4k≤47⇔[0≤k≤12,25−0,5≤k≤11,75⇒{k∈{0;1;2;3;...;12}k∈{0;1;2;....;11}

Vậy có tất cả  giá trị của k thỏa mãn điều kiện, tức cũng có 25 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.