Biết tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = a\sqrt 2 + b\sqrt 3 + c} \), với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị biểu thức \(P = a + b + c\) là

Hướng dẫn giải

Ta có \(\sqrt {x + 1} - \sqrt x \ne 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên

\(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} = \left( {2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} } \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right.} \)

\( = 4\sqrt 2 - 2\sqrt 3 - 2.\) Suy ra \(a = 4,b = c = - 2\) nên \(P = a + b + c = 0.\)

Chọn B.