Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \) là

Hướng dẫn giải

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 4} \Rightarrow {x^2} = {u^2} - 4\) nên \(xdx = udu\)

Đổi cận

Khi đó \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} }}.xdx} \) nên \(I = \int\limits_3^4 {\frac{1}{{\left( {{u^2} - 4} \right)u}}.udu} = \int\limits_3^4 {\frac{1}{{{u^2} - 4}}du.} \)

Suy ra \(I = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1} - \frac{1}} \right)du = \frac{1}{4}\left( {\ln \left| {u - 2} \right| - \ln \left| {u + 2} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle3}^{\scriptstyle4\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}.} \)

Chọn B.