Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = \sin x\) với mọi \(x\) và \(f\left( 0 \right) = 1.\) Tích phân \({e^\pi }.f\left( \pi \right)\) bằng

Hướng dẫn giải

Ta có \(f\left( x \right) + f'\left( x \right) = \sin x\) nên \({e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right) = {e^x}.\sin x,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]^\prime } = {e^x}.\sin x\) hay \(\int\limits_0^\pi {{{\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]}^\prime }} dx = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin x} dx\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{2}\left[ {{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right)} \right]\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. \Leftrightarrow {e^\pi }f\left( \pi \right) - f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {e^\pi }f\left( \pi \right) = \frac{{{e^\pi } + 3}}{2}.\)

Chọn C.