Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hình chiếu của A' lên (ABC) là tâm O của ΔABC. Gọi O' là tâm của tam giác A'B'C', M là trung điểm AA' và G là trọng tâm tam giác B'C'C. Biết rằng VO'.OMG=a3, tính chiều cao h của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Trong (ABC) xác định điểm E sao cho ACEO là hình bình hành.

Khi đó ta có CE//AO//A'O'CE=AO=A'O'⇒A'O'EC cũng là hình bình hành.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: O'GGE=O'KCE=O'KA'O'=12⇒O'GO'E=13.

Trong (AOO'A') kéo dài O'M cắt AO tại D.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có O'MMD=A'O'AD=A'MAM=1⇒O'MO'D=12.

Khi đó ta có VO'.OMGVO'.ODE=O'MO'D.O'GO'E=12.13=16⇒VO'.ODE=6VO'.OMG=6a3.

Ta có VO'.ODE=13h.SΔODE=6a3.

Ta lại có SΔODE=12dE;OD.OD

Ta có OD=2OA=2.23.a32=2a33,dE;OD=dC;AO=a2.

⇒SΔODE=12dE;OD.OD=12.2a33.a2=a236.

Vậy h=18a3a236=36a3.

Chọn B.