Trong không gian Oxyz, cho hai M(1,2,3), N(3,4,5) và mặt phẳng P:x+2y+3z−14=0 . Gọi ∆ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P), các điểm H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N trên ∆. Biết rằng khi MH=NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

Gọi I là trung điểm của HK.

Do MH=NK  nên ΔHMI=ΔKNI⇒IM=IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng Q  là mặt phẳng trung trực của đoạn MN.

Ta có Q  đi qua trung điểm của MN là điểm J2;3;4  và nhận n→=12MN→=1;1;1  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là Q:x+y+z−9=0 .

Mà I∈A⊂P . Suy ra I∈d=P∩Q:x+y+z−9=0x+2y+3z−14=0

Tìm được 0;13;−4∈d  và vectơ chỉ phương của d là 1;−2;1 .

Vậy d:x=ty=13−2tz=−4+t .

Chọn A.