Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0 và điểm A5;3;−2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN .

Mặt cầu S  có tâm I2;−1;1 , bán kính R=22+−12+12−−3=3 .

Ta có: AI=2−52+−1−32+1+22=34>R  nên A nằm ngoài mặt cầu S .

Ta lại có: S=AM+4AN .

Đặt AM=x, x∈34−3;34+3 .

Mà AM.AN=AI2−R2=34−9=25⇒AN=25AM .

Do đó: S=fx=x+100x  với x∈34−3;34+3 .

Ta có: f'x=1−100x2=x2−100x<0  với x∈34−3;34+3 .

Do đó: min34−3;34+3fx=f34+3=534−9 .

Dấu “=” xảy ra ⇔A,M,N,I  thẳng hàng và AM=34+3; AN=34−3 .

Chọn C.