Cho hai hàm số: fx=13x3−m+1x2+3m2+4m+5x+2021 và gx=m2+2m+5x3−2m2+4m+9x2−3x+2 với m là tham số. Hỏi phương trình gfx=0 có bao nhiêu nghiệm?

Xét phương trình g(x) = 0

Chỉ ra hàm số y= f(x) đồng biến trên R

Suy ra số nghiệm phương trình gfx=0

Cách giải:

Xét phương trình g(x)= 0

⇔m2+2m+5x3−2m2+4m+9x2−3x+2=0⇔m2+2m+5x3−2m2+4m+10x2+x2−3x+2=0⇔m2+2m+5x2x−2+x−1x−2=0⇔x−2m2+2m+5x2+x−1=0⇔x=2m2+2m+5x2+x−1=0 *

Xét (*) vì m2+2m+5=m+12+4>0ac=−m2+2m+5<0m2+2m+5.22+2−1=4m2+8m+21>0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.

Hay g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x=2x=m mn<0x=n. Do đó  gfx=0⇔fx=2 1fx=m2 mn<0fx=n 3.

Xét hàm số fx=13x3−m+1x2+3m2+4m+5x+2021 ta có: f'x=x2−2m+1x+3m2+4m+5.

Ta có Δ'f'x=m+12−3m2+4m+5=−2m2−2m−4<0∀m nên f'x>0∀x∈ℝ.

Suy ra hàm số f(x) là hàm đồng biến trên R

Do đó mỗi phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.

Vậy phương trình g(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.