Cho phương trình\[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 20\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 11 = 0\]. Khi đặt\[t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\], phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Đáp án C

Phương pháp:

- Hai góc \[\frac{\pi }{6} - x\]và \[x + \frac{\pi }{3}\]là hai góc phụ nhau.

- Sử dụng công thức nhân đôi\[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x.\]

Cách giải:

Ta có:\[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\]

Lại có\[sin\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) \Rightarrow \cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right).\]

Phương trình

\[ \Leftrightarrow 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 20\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 11 = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 20\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 12 = 0\]

\[ \Leftrightarrow - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 10\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 6 = 0\]

Đặt\[t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\], phương trình đã cho trở thành phương trình\[ - {t^2} + 10t + 6 = 0\]