Tìm tập nghiệm của phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\)

Đáp án C

Phương pháp

TH1: \(\cos x = 0\)

TH2: \(\cos x \ne 0\)

Chia cả hai vế cho \(co{s^2}x\) đưa về giải phương trình ẩn \(\tan x\).

Sử dụng \(\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi \), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Cách giải:

+ Với \(\cos x = 0\) thay vào phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\) ta được

\(2{\sin ^2}x = 2 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\left( {tm} \right)\) nên \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thỏa mãn phương trình đã cho.

+ Với \(\cos x \ne 0\), ta chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 5 = 2.\frac{1}{{co{s^2}x}}\)

\( \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 5 = 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 3\tan x = - 3 \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\left( {tm} \right)\)

Vậy họ nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)