Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\,\,\frac{\pi }{8}} \right]\).

Đáp án A

Phương pháp:

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\({\sin ^2}x = \frac{2};\,\,{\cos ^2}x = \frac{2}\)

Cách giải:

Ta có: \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x = {\cos ^2}2x + m\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{4}.\frac{2} = \frac{2} + m \Leftrightarrow 8 - 3 + 3\cos 4x = 4 + 4\cos 4x + 8m \Leftrightarrow \cos 4x = 1 - 8m\)

Do \(x \in \left[ {0;\,\,\frac{\pi }{8}} \right] \Rightarrow 4x \in \left[ {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \cos 4x \le 1\).

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(0 \le 1 - 8m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{8}\).