Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa điều kiện: \(2f(x) + f({x^3}) = {x^6} + 2{x^2} - 3,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là

Lời giải Từ \(2f\left( x \right) + f\left( {{x^3}} \right) = {x^6} + 2{x^2} - 3,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}{\rm{   }}(1)\), cho \(x = 1\) ta được: \(2f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right)) = 1 + 2 - 3 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0\). Vì hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), nên đạo hàm hai vế của (1) ta được: \(2f'\left( x \right) + 3{x^2}f'\left( {{x^3}} \right) = 6{x^5} + 4x,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}{\rm{   }}(2)\). Từ (2), cho \(x = 1\) ta được: \(2f'\left( 1 \right) + 3f'\left( 1 \right) = 6 + 4 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 2.\) Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(y = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 1} \right) + 0\) \( \Leftrightarrow y = 2x - 2\).