Cho các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).

Lời giải Xét \(\frac{P}{2} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{2} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\). Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = 2\). Do đó \(P = {x^2} = 2 \Rightarrow \min P = 2\). Nếu \(y \ne 0\), chia cả tử và mẫu cho \({y^2}\) ta có: \(\frac{P}{2} = \frac \right) + {{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}} \right) + {{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}}\). Đặt \(t = \frac{x}{y}\), khi đó \(\frac{P}{2} = \frac}}\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac}} \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{ - 2{t^2} + 2}}{{{{\left( {1 - t + {t^2}} \right)}^2}}}\). \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\).  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta \(\min \frac{P}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \min P = \frac{2}{3}\).