Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = - {x^4} - (m - 1){x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

Lời giải Cách 1. (Trắc nghiệm) Hàm số đã cho có ba cực trị tạo thành tam giác đều khi thỏa điều kiện: \(24a + {b^3} = 0 \Leftrightarrow 24\left( { - 1} \right) + {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^3} = 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} = - 24 \Leftrightarrow m = 1 - 2\sqrt[3]{3}\). Cách 2. (Tự luận) Ta có: \(y' = - 4{x^3} - 2(m - 1)x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{2}\end{array} \right.\). Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi \(m < 1\). Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là \(A\left( {0;\;1} \right)\), \(B\left( { - \sqrt {\frac{2}} ;\;\frac{{{m^2} - 2m + 5}}{4}} \right)\), \(C\left( {\sqrt {\frac{2}} ;\;\frac{{{m^2} - 2m + 5}}{4}} \right)\), ta có: \(AB = \sqrt {\frac{2} + \frac{{{{\left( {1 - m} \right)}^4}}}} \), \(BC = 2\sqrt {\frac{2}} \) Để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác đều khi và chỉ khi: \(A{B^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow \frac{2} + \frac{{{{\left( {1 - m} \right)}^4}}} = 2\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^3} = 24 \Leftrightarrow m = 1 - 2\sqrt[3]{3}\) (thỏa \(m < 1\)).