Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z−2=0 và mặt phẳng (Q):2x−y−2z+10=0 song song với nhau. Biết A(1;2;1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

Bước 1: Tính d((P),(Q))

Ta thấy M(1;0;0) là một điểm thuộc (P)

Vì P//Q nên d((P),(Q))=d(M,(Q))=|2+10|22+(−1)2+(−2)2=4

Bước 2: Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Chứng minh I luôn thuộc mặt phẳng (R)

Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là

R=d((P),(Q))2=42=2

Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2

Ngoài ra,

d(I,(P))=d(I,(Q))⇔|2a−b−2c−2|22+(−1)2+(−2)2=|2a−b−2c+10|22+(−1)2+(−2)2

⇔|2a−b−2c−2|=|2a−b−2c+10|

⇔2a−b−2c+4=0.

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng (R):2x−y−2z+4

Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R).Tính HI và tính bán kính r

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A,

Ta cóAH=d(A,(R))=|2.1−2−2.1+4|22+(−1)2+(−2)2=23

Mà AH⊥(R)⇒AH⊥HI,do đó ΔAHI vuông tại H nên

HI=AI2−AH2=22−232=423

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kínhr=423