Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(AB = BC\).

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = - mx\) và \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\)

\({x^3} - 3{x^2} - m + 2 = - mx \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx - m + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A,B,C phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 - 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 2 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Khi đó, giả sử (2) có 2 nghiệm \({x_1},\,{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Theo Vi ét: \({x_1} + {x_2} = 2\)

Mà \({y_1} = - m{x_1},\,\,{y_2} = - m{x_2} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 2m\)

Đặt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {1; - m} \right),\,\,C\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow \) B là trung điểm của AC với mọi \(m < 3\)