Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^5}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 2}}}}}}\) với \(a > 0\) ta được kết quả \(A = {a^{\frac{m}{n}}}\), trong đó \(m,\,n \in \mathbb{N}*\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các công thức \(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{m}{n}}};\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\,\,\,\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Cách giải :

Ta có \(A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^5}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 2}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{2}{7}}}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{3} + \frac{7}{3}}}}}{{{a^{4 - \frac{2}{7}}}}} = \frac{{{a^4}}}{{{a^{4 - \frac{2}{7}}}}} = {a^{\frac{2}{7}}}\)

Suy ra \(m = 2,\,\,\,n = 7\). Do đó \(2{m^2} + n = 15\)

Ghi chú: Với \(m = 2,\,\,\,n = 7\) thì \({m^2} + {n^2} = 53;\,\,\,{m^2} - {n^2} = - 45;\,\,\,3{m^2} - 2n = - 2\)