Cho mặt cầu S (O;4) cố định. Hình nón (N) gọi là nội tiếp mặt cầu S(O;4) nếu hình nón (N) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu S( O;4). Tính bán kính đáy r của (N) để khối nón (N) có thể tích lớn nhất ?

Chọn D

Gọi I là đỉnh và H là tâm đáy của hình nón (N) . Do IH⊥mp(H);OH⊥mp(H)

⇒I,O,H thẳng hàng.

Dễ thấy để (N) có thể tích lớn nhất thì chỉ cần O nằm giữa đoạn IH.

Gọi đường cao của hình nón là: h=IH=OI+OH=R+OH,R≤h≤2R.

Suy ra r2=R2−(h−R)2.

Thể tích khối nón là: V=13.πr2h=13.πhR2−(h−R)2=13.π(−h3+2Rh2)=f(h).

Ta có f'(h)=13π(4Rh−3h2), cho f'(h)=0⇔h=0h=4R3.

Bảng biến thiên:

Vậy max V=f4R3 khi h=4R3,r=2R23=823.