Cho hàm số y=x−2x−1 có đồ thị (C) và điểm M3;−1. Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm M và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho MB=3MA. Tính tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D.

Gọi đường thẳng thuộc D có dạng: d:y=kx−3−1=kx−3k−1.

Phương trình hoành độ giao điểm:

x−2x−1=kx−3k−1⇔x−2=kx−3k−1x−1⇔kx2−22k+1x+3k+3=0(1)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1k≠02k+12−k3k+3>0k.12−22k+1.1+3k+3≠0⇔k≠0k2+k+1>0⇔k≠0, tức là

.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa hệ thức Viet:

.x1+x2=4k+2k(2)x1x2=3k+3k(3)

Gọdi Ax1;kx1−3k−1⇒MA→=x1−3;kx1−3k.

Bx2;kx2−3k−1⇒MB→=x2−3;kx2−3k.

Ta có MB=3MA⇔MB→=3MA→MB→=−3MA→.

Trường hợp 1: MB→=3MA→⇔x2−3=3x1−3⇔x2=3x1−6(4).

Từ (2)và (4) suy ra x1+3x1−6=4k+2kx2=3x1−6⇔x1=10k+24kx2=6k+64k

Thay vào (3), ta được

10k+24k6k+64k=3k+3k⇔12k2+24k+12=0⇔k=−1

Trường hợp 2: MB→=−3MA→⇔x2−3=−3x1−3⇔x2=−3x1+12(5).

Từ  (2)và (5)  suy ra x1−3x1+12=4k+2kx2=−3x1+12⇔x1=4k−1kx2=3k

Thay vào (3), ta được:

4k−1k3k=3k+3k⇔3k2−9k+3=0⇔k=3+52k=3−52

Vậy tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D là

S=−1+3+52+3−52=2.