Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =a32. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là α . Tính cosα biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên CM⊥AB,DM⊥AB

Ta có : (ABC)∩(ABD)=ABCM⊥AB,CM⊂(ABC)DM⊥AB,DM⊂(ABD)⇒∠ABC;ABD=∠CM;DM

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

CM2=AC2−AM2⇒CM=AC2−AM2=a322−a22=a22

Tương tự DM=a22

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên IK=IM=IN,IK⊥AD.

Xét tam giác AMI và AKI có :

AMI^=AKI^=900;AI chung;IM=IKcmt;

Do đó ΔAMI=ΔAKI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒AK=AM=a2 (cạnh tương ứng).

Tương tự : ΔDNI=ΔDKI (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

⇒DN=DK=AD−AK=a32−a2=a3−12⇒DC=2DN=2.a3−12=a3−1

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

cosCMD^=MC2+MD2−CD22MC.MD                    =a222+a222−a3−122.a22.a22                    =23−3>0⇒cosα=cosCMD^=23−3

Đáp án cần chọn là: B