Hãy tìm giá trị thực của \[m\] để góc giữa hai đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - \sqrt 2 t\\z = 1 + t\end{array} \right.,{\rm{ }}t \in \mathbb{R}\] và \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - \sqrt 2 t'\\z = 1 + mt'\end{array} \right.,{\rm{ }}t' \in \mathbb{R}\] bằng \[60^\circ .\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;m} \right)\].

Suy ra \[\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}\].

Theo đề, góc giữa hai đường thẳng là \[60^\circ \], do đó \[\frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \[2\left| {m + 3} \right| = 2\sqrt {\left( {{m^2} + 3} \right)} \]

\[{\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {{m^2} + 3} \right)\]

\[6m + 6 = 0\]

\[m = - 1.\]

Vậy \[m = - 1.\]