Biết \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx = \frac{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{c}} \] với \[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\]. Khi đó giá trị của \[P = a + 2b + 3c\] là

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\]

\[ = 3 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{\pi ^2}}} = \frac{2} - \frac{{5{\pi ^2}}}\].

Do đó, \[a = 8,b = - 3,c = 72.\]

Vậy \[P = a + 2b + 3c = 8 + 2.\left( { - 3} \right) + 3.72 = 218.\]