Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên 1 viên kéo trong túi, không trả lại. Sau đó, Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một viên kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất để Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}.\) Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo?

Đáp án đúng là: 10

Gọi A là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ nhất”

B là biến cố “Hà lấy được viên kẹo màu cam ở lần thứ hai”.

Ta có: xác suất Hà lấy được cả hai viên kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\), suy ra P(AB) = \(\frac{1}{3}\).

Gọi n là số viên kẹo ban đầu trong túi \(\left( {n \in {N^ * },n \ne 1} \right).\)

P(A) = \(\frac{6}{n}\); P(B | A) = \(\frac{5}\).

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

P(AB) = P(A).P(A | B)

\( \Leftrightarrow \frac{6}{n}.\frac{5} = \frac{{{n^2} - n}} = \frac{1}{3}\).

\( \Leftrightarrow {n^2} - n = 90 \Leftrightarrow {n^2} - n - 90 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 9\\n = 10.\end{array} \right.\)

Do \(n \in {N^ * }\) nên \(n = 10\) thỏa mãn.

Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.