Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {2x + 5} - 3}} = \frac{a}{b}\), trong đó a, b là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 1984{a^2} + 4{b^2}\).

Lời giải

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {2x + 5}  - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 5) - 9}}{{(x - 2)(\sqrt {2x + 5}  + 3)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2(x - 2)}}{{(x - 2)(\sqrt {2x + 5}  + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{\sqrt {2x + 5}  + 3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)  

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 3}\end{array}} \right..\)

Vậy \(P = {1984.1^2} + {4.3^2} = 2020\).