Cho hình nón \((N)\) có bán kính đáy bằng 3, chiều cao bằng \(3\sqrt 3 \). Cho mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Thể tích của khối cầu \((S)\) là

Giả sử hình nón \((N)\) có đỉnh là \(S\), tâm đáy là \(I\) và AB là đường kính của đường tròn đáy.

Giả sử mặt cầu \((S)\) có tâm \(O\).

Vì \((S)\) tiếp xúc với tất cả các đường sinh và mặt đáy của \((N)\) nên bán kính của \((S)\) là \(r = d(O;SA) = d(O;AB) = OI\) với S, O, I thẳng hàng và AO là tia phân giác của \(\widehat {SAI}\).

Xét  vuông tại \(I:SA = \sqrt {S{I^2} + A{I^2}}  = \sqrt {{{(3\sqrt 3 )}^2} + {3^2}}  = 6\).

Thể tích của khối cầu \((S)\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi .{(\sqrt 3 )^3} = 4\sqrt 3 \pi \).