Cho \(\left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}\) là đạo hàm của hàm số \(y = \left( {a{x^2} + bx} \right){e^{ - cx}}\). Tính \(a + b + c\).

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của \(y = \left( {a{x^2} + bx} \right){e^{ - cx}}\) rồi đồng nhất hệ số và số mũ.

Lời giải

Ta có:

\(y' = (2ax + b).{e^{ - cx}} + ( - c).\left( {a{x^2} + bx} \right){e^{ - cx}}\)

\( = \left[ { - ac{x^2} + (2a - bc)x + b} \right]{e^{ - cx}}\)

Khi đó \(\left[ { - ac{x^2} + (2a - bc)x + b} \right]{e^{ - cx}} = \left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{ac = 1}\\{2a - bc = 0}\\{b = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \[a + b + c = 4\].

 Chọn D