Cho đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_1}\), bán kính \(R = 86\;{\rm{cm}}\) và một điểm \({\rm{A}}\) nằm trên đường tròn \(\left( \right)\). Đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_2}\) và đường kính \({I_1}A\), đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_3}\) và đường kính \({I_2}A \ldots \) đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_n}\) và đường kính \({I_{n - 1}}A, \ldots \) Gọi \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots ,{S_n} \ldots \) lần lượt là diện tích ...

Hướng dẫn giải:

Đường tròn \(\left( \right)\) có bán kính \({R_1} = {I_1}A = R\) và \({S_1} = \pi {R^2}\).

Đường tròn \(\left( \right)\) có bán kính \({R_2} = {I_2}A = \frac{{{I_1}A}}{2} = \frac{R}{2}\) và \({S_2} = \pi R_2^2 = \pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi R}}{4} = \frac{}{4}\).

Đường tròn \(\left( \right)\) có bán kính \({R_3} = {I_3}A = \frac{{{I_2}A}}{2} = \frac{R}{4}\) và \({S_3} = \pi R_3^2 = \pi {\left( {\frac{R}{4}} \right)^2} = \pi \frac{{{R^2}}} = \frac{}{4}\).

Đường tròn \(\left( \right)\) có bán kính \({R_n} = {I_n}A = \frac{{{I_{n - 1}}A}}{2} = \frac{R}{{{2^{n - 1}}}}\) và \({S_n} = \pi R_n^2 = \pi {\left( {\frac{R}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \pi \frac{{{R^2}}}{{{2^{2(n - 1)}}}} = \frac{{{S_{n - 1}}}}{4}\).

Vậy các đường tròn \(\left( \right),\left( \right),\left( \right), \ldots ,\left( \right), \ldots \) có diện tích \({S_1},{S_2},{S_3}, \ldots ,\left( \right), \ldots \) lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = {S_1} = \pi {R^2} = \pi {.86^2} \approx 23235\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S = {S_1} + {S_2} +  \ldots  + {S_6} = \frac{{{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right)}} = \frac{{23235\left( {{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^6} - 1} \right)}}{{\frac{1}{4} - 1}} \approx 30973\,\,\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

 Chọn C