Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \ln 4\). Đường thẳng \(x = k(0 < k < \ln 4)\) chia \((H)\) thành hai phần \({H_1},{H_2}\) như hình vẽ bên. Khi quay \({H_1},\,\,{H_2}\) quanh trục hoành ta được hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},{V_2}\). Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu để \({V_1} = 2{V_2}\)?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({V_1} = \pi \int\limits_0^k {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}\;{\rm{d}}x} ;\,\,{V_2} = \pi \int\limits_k^{\ln 4} {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}\;{\rm{d}}x} \)

\({V_1} = 2{V_2} \Leftrightarrow \pi \int\limits_0^k {{e^{2x}}\;{\rm{d}}x}  = \left. {2\pi \int\limits_k^{\ln 4} {{e^{2x}}\;{\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^k = \left. {2.\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_k^{\ln 4}\)

\( \Leftrightarrow {e^{2k}} - {e^0} = 2.{e^{2\ln 4}} - 2{e^{2k}}\)

\( \Leftrightarrow 3{e^{2k}} = 33\)

\( \Leftrightarrow {e^{2k}} = \frac{3} \Leftrightarrow 2k = \ln 11 \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}\ln 11\)

 Chọn C