Cho các số phức w, z thỏa mãn \(|w + i| = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = (2 + i)(z - 4)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i|\) bằng

Gọi \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\). Khi đó \(M(x;y)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z\).

Theo giả thiết, \(5w = (2 + i)(z - 4) \Leftrightarrow 5(w + i) = (2 + i)(z - 4) + 5i\)

\( \Leftrightarrow (2 - i)(w + i) = z - 3 + 2i\)

\( \Leftrightarrow |z - 3 + 2i| = 3\). Suy ra \(M(x;y)\) thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 2)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(P = |z - 1 - 2i| + |z - 5 - 2i| = MA + MB\), với \(A(1;2)\) và \(B(5;2)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của AB, ta có \(H(3;2)\) và khi đó:

\(P = MA + MB \le \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} {\rm{ hay }}P \le \sqrt {4M{H^2} + A{B^2}} {\rm{. }}\)

Mặt khác, \(MH \le KH\) với mọi \(M \in (C)\) và \(K(3; - 5) = HI \cap (I)\) nên

\(P \le \sqrt {4K{H^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{4.7}^2} + {4^2}}  = 2\sqrt {53} .\)

Vậy \({P_{\max }} = 2\sqrt {53} \) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \equiv K}\\{MA = MB}\end{array}} \right.\) hay \(z = 3 - 5i\) và \(w = \frac{3}{5} - \frac{5}i\).

 Chọn C