Ba số có tổng là 217 là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân; hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng có công sai khác 0. Cần lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 741?

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1}\), công sai là \(d \ne 0\).

Vì ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 nên ba số đó lần lượt là \({u_1} + d,{u_1} + 8d,{u_1} + 43d\).

Ba số đó có tổng là 217 nên \(\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 8d} \right) + \left( {{u_1} + 43d} \right) = 3{u_1} + 52d = 217\).

Ba số đó là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên

\(\left( {{u_1} + 43d} \right)\left( {{u_1} + d} \right) = {\left( {{u_1} + 8d} \right)^2} \Leftrightarrow 28{u_1}d = 21{d^2} \Leftrightarrow {u_1} = \frac{3}{4}d\).

Từ đây suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{d = 4.}\end{array}} \right.\)

\({S_k} = 741 \Leftrightarrow \frac{k}{2}\left[ {2.3 + \left( {k - 1} \right).4} \right] = 741 \Leftrightarrow k = 19\) (vì \(k\) là số tự nhiên).