Cho hai số thực \(x,y \ge 1\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}2\left( {x + y} \right)} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2xy + \sqrt {x + 2y} - {x^2} - 4{y^2}\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\), ta có:

\[\left| {{{\log }_2}2(x + y)} \right| + \left| {{{\log }_2}\frac{{2(x + y)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = \left| {{{\log }_2}(x + y) + 1} \right| + \left| {1 - {{\log }_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right|\]

\( = \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}} - 1} \right| \ge \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)\)

Mặt khác theo bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) ta lại có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right) = VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right).\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right] \ge 0}\\{x = 2y}\end{array}} \right.\).

Thế vào \(P\) ta được \(P = \sqrt {2x}  - {x^2} = g\left( x \right)\). Vì \(x,y \ge 1\) và \(x = 2y\) nên ta xét \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} - 2x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} = 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (Loại).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right) \Rightarrow g\left( x \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) =  - 2\).

 Chọn A