Cho hai số thực a, b thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{100}}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{40}}b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{16}}\frac\). Giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{100}}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{40}}b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{16}}\frac\).

- Biến đổi \(a,b\) và \(a + b\) theo \(t\).

- Tìm \(t\).

Lời giải

Điều kiện: \(a,b > 0\) và \(a - 4b > 0\)

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{100}}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{40}}b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{16}}\frac = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{100}^t}}\\{b = {{40}^t}}\\{a - 4b = {{12.16}^t}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \({100^t} - {4.40^t} - {12.16^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2t}} - 4.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^t} - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^t} = 6}\\{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^t} =  - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\frac{a}{b} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^t} = 6\).

 Chọn A