Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của cạnh AD.

∆ABC vuông cân tại B, ∆ICD vuông cân tại I và có AB=IC=a nên AC=CD=a2 

Khi đó AC2+CD2=AD2 nên ∆ACD vuông cân tại C.

Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong ∆SAE, kẻ AH⊥SE(1) 

Ta có

ED⊥SAED⊥AE⇒ED⊥(SAE)⇒ED⊥AH(2) 

Từ (1) và (2) suy ra AH⊥(SDE) 

Vì AC//ED nên

dAC,SD=dAC,SDE=dA;SDE=AH

Trong ∆SAE, 1AH2=1SA2+1AE2

⇔AH=SA.AESA2=AE2⇔AH=a.a.2a2+a2)2=6a3

Vậy dAC,SD=6a3

Cách 2:

Dễ thấy DC⊥(SAC). Trên mặt phẳng (ABCD)

dựng:AG//CD,DG//AC,DG∩AB=E

Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1) 

Tính được: AE=AD=2a.

Mà AC//(SDE)

⇒dAC,SD=dAC,SDE=dA,SDE=AH

Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)

Ta có: 1AH2=1SA2+1AE2+1AD2

⇒AH=6a3

Cách 3:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz

Khi đó A(0;0;0);C(a;a;0);

D(0;2a;0);S(0;0;a) 

Do đó AC⇀=(a;a;0);SD⇀=(0;2a;-a);SA⇀=(0;0;-a);

và AC⇀;SD⇀=(-a;a;2a)

Ta có dAC,SD=AC⇀;SD⇀.SA⇀AC;⇀SD⇀

=-a.0+a.0+2a.(-a)-a2+a2+2a2=6a3 

Chọn đáp án C.