Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD là hình thoi cạnh 2a,AC=3a là tam giác đều, SA=120°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

+ Tam giác SAB đều ⇒SA=SB=AB=2a 

+ Xét tam giác SAD có

SD2=SA2+AD2-2SA.SD.cosSAD=12a2⇒SD=23a

+ Gọi AC∩BD=O⇒AO=AC2=3a2

⇒BO=AB2-AO2=13a2⇒BD=13a

Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là S∆SBD=183a24 

+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì AB=AD=AS=2a⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

SBD⇒SH=SB.SD.BD4S∆SBD=439a183 

⇒AH=SA2-SH2=4a2-624a2183=63183⇒vS.ABD=VA.SBD=13.AH.S∆SBD=13.63a183.183a34=3a34⇒VS.ABCD=2VS.ABCD=3a3

Cách 2:

Ta có

cosBAC=AB2+AC2-BC22.AB.AC=4a2+3a2-4a22.2a.3a=34⇒cosBAD=2(cosBAC)2-1=-58

Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có

VA.SBD=AS.AB.AD2.

Chọn đáp án A.