Cho hàm số f(x)=ax4+bx2+c với a>0,c>2017 và a+b+c<2017. Số cực trị của hàm số y=fx-2017 là

Đáp án D.

Xét hàm số g(x)=f(x)-2017=ax4+bx2+c-2017 là hàm trùng phương nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng và luôn nhận x=0 là một điểm cực trị.

Ta có g(0)=c-2017>0 (do x>2017)g(1)=a+b+c-2107<0 (do a+b+c<2017)⇒g(0).g(1)<0⇒ phương trình g(x)=0 có nghiệm (0;1).

Lại có limx→+∞g(x)=limx→+∞=x4a+bx2+c-2017x4=+∞ (do a>0) nên tồn tại x=x0 đủ lớn (x0→+∞) sao cho g(x0)>0⇒g(1).g(x0<0⇒) phương trình g(x)=0 có nghiệm trên 1;+∞.

Như vậy, với x > 0 thì phương trình g (x) =0 có ít nhất hai nghiệm nên đồ thị hàm số g (x) cắt Ox tại ít nhất hai điểm nằm bên phải trục tung. Suy ra phương trình g (x) có đúng 4 nghiệm hay đồ thị hàm số  g(x) cắt Ox tại đúng  4 điểm và có đồ thị như hình bên. Suy ra hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị (1 cực đại, 2 cực tiểu).

Khi đó hàm số y=g(x) có 3+4=7 điểm cực trị.