Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có Ax0;0;0, B−x0;0;0, C0;1;0 và B'−x0;0;y0, trong đó x0;y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0+y0=4. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

Đáp án D.

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra O0;0;0  .

Ta có AB→=−2x0;0;0,OC→=0;1;0⇒AB→.OC→=0⇒AB⊥OC .

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên. Với Ax0;0;0,B−x0;0;0,C0;1;0 ,B'−x0;0;4−x0 ,A'x0;0;4−x0 , C'0;1;4−x0  do  x0+y0=4 và 0

 Có AC'→=−x0;1;4−x0,B'C→=x0;1;x0−4⇒AC'→,B'C→=2x0−8;0;−2x0

AC→=−x0;1;0⇒AC'→,B'C→.AC→=−x02x0−8=−2x0x0−4

⇒dAC';B'C=AC'→,B'C→.AC→AC'→,B'C→=2x0x0−444−x02+4x02=x04−x04−x02+x02

 do x0∈0;4 .

Với 0

Như vậy dAC';B'C=x04−x04−x02+x02≤x04−x02x04−x0=12 .

Dấu “=” xảy ra khi x0=4−x0⇔x0=2=y0  .

Khi đó A2;0;0,B−2;0;0,C0;1;0,B'−2;0;2 . Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C'  là .

Ta có hệ phương trình sau:

 22+02+02−2a.2−2b.0−2c.0+d=0−22+02+02−2a−2−2b.0−2c.0+d=002+12+02−2a.0−2b.1−2c.0+d=0−22+02+22−2a−2−2b.0−2c.2+d=0⇔4a−d=44a+d=−42b−d=14a−4c+d=−8⇔a=0b=−32c=1d=−4

Vậy mặt cầu (S) có tâm I0;−32;1  và bán kính 

R=a2+b2+c2−d=292