Cho hai số phức z1=7+9i và z2=8i. Gọi z=a+bi a,b∈ℝ là số phức thỏa mãn z−1−i=5. Tìm a+b, biết biểu thức P=z−z1+2z−z2 đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án D.

Gọi  Ma;blà điểm biểu diễn số phức z=a+bi . Đặt I=1;1  , A7;9  và  B0;8

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  Ccó tâm I, bán kính  R=5 sao cho biểu thức P=MA+2MB  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm Kx;y  sao cho MA=2MK ∀M∈C  .

Ta có  

 MA=2MK⇔MA2=4MK2⇔MI→+IA→2=4MI→+IK→2

⇔MI2+IA2+2MI→.IA→=4MI2+IK2+2MI→.IK→

⇔2MI→IA→−4IK→=3R2+4IK2−IA2 *

(*) luôn đúng ∀M∈C⇔IA→−4IK→=0→3R2+4IK2−IA2=0 .

IA→−4IK→=0→⇔4x−1=64y−1=8⇔x=52y=3

Thử trực tiếp ta thấy K52;3   thỏa mãn 3R2+4IK2−IA2=0 .

Ta cos MA+2MB=2MK+2MB=2MK+MB≥2KB  .

Vì BI2=12+72=50>R2=25  nên B nằm ngoài (C).

Vì KI2=322+22

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK  . Do đó MA+2MB  nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.

Phương trình đường thẳng BK:2x+y−8=0 .

Phương trình đường tròn C:x−12+y−12=25 .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

2x+y=8x−12+y−12=25⇔x=1y=6

 hoặc x=5y=−2 .

Thử lại thấy M1;6  thuộc đoạn BK.

Vậy a=1,b=6⇒a+b=7  .